Элементарная математика, математика постоянных величин, движется, по крайней мере в общем и целом, в пределах формальной логики; математика переменных величин, самый значительный отдел которой составляет исчисление бесконечно малых, есть по существу не что иное, как применение диалектики к математическим отношениям.
Даже формальная логика представляет собой прежде всего метод для отыскания новых результатов, для перехода от известного к неизвестному; и то же самое, только в гораздо более высоком смысле, представляет собой диалектика, которая к тому же, прорывая узкий горизонт формальной логики, содержит в себе зародыш более широкого мировоззрения.
Дифференциальное исчисление, вопреки всем протестам здравого человеческого рассудка, приравнивает при известных условиях прямое и кривое друг к другу и достигает этим таких успехов, каких никогда не достигнуть здравому человеческому рассудку, упорствующему в своем утверждении, что тождество прямого и кривого является бессмыслицей.
Свобода воли... не что иное, как способность принимать решения со знанием дела. Таким образом, чем свободнее суждение человека по отношению к определённому вопросу, с тем большей необходимостью будет определяться содержание этого суждения; тогда как неуверенность, имеющая в своей основе незнание и выбирающая как будто произвольно... тем самым доказывает свою несвободу свою подчинённость тому предмету, который она как раз и должна была бы подчинить себе.
Не в воображаемой независимости от законов природы заключается свобода, а в познании этих законов и в основанной на этом знании возможности планомерно заставлять законы природы действовать для определённых целей.
В действительно научных трудах избегают обыкновенно таких догматически-моралистических выражений, как заблуждение и истина; напротив, мы их встречаем на каждом шагу в сочинениях вроде философии действительности, где пустое разглагольствование о том и о сём хочет навязать нам себя в качестве сувереннейшего результата суверенного мышления.
Когда в математику были введены переменные величины и когда их изменяемость была распространена до бесконечно малого и бесконечно большого, – тогда и математика, вообще столь строго нравственная, совершила грехопадение: она вкусила от яблока познания, и это открыло ей путь к гигантским успехам, но вместе с тем и к заблуждениям. Девственное состояние абсолютной значимости, неопровержимой доказанности всего математического навсегда ушло в прошлое.
Идеальная потребность математика весьма далека от того, чтобы быть принудительным законом для реального мира.
Люди стоят перед противоречием: с одной стороны, перед ними задача – познать исчерпывающим образом систему мира в её совокупной связи, а с другой стороны, их собственная природа, как и природа мировой системы, не позволяет им когда-либо полностью разрешить эту задачу.
Принципы – не исходный пункт исследования, а его заключительный результат; эти принципы не применяются к природе и к человеческой истории, а абстрагируются из них; не природа и человечество сообразуются с принципами, а, наоборот, принципы верны лишь постольку, поскольку они соответствуют природе и истории.
Метафизический способ понимания... рано или поздно достигает каждый раз того предела, за которым он становится односторонним, ограниченным, абстрактным и запутывается в неразрешимых противоречиях, потому что за отдельными вещами он не видит их взаимной связи, за их бытием – их возникновения и исчезновения... Для диалектики же, для которой существенно то, что она берет вещи... в их взаимной связи, такие процессы... напротив, лишь подтверждают её собственный метод исследования.